Лабораторная работа №4

Название работы

Обработка числовых данных вещественных типов.

Цель работы

Закрепить навыки объявления переменных и констант, освоить операции для данных вещественных типов, закрепить навыки применения оператора присваивания, исследовать форматы внутреннего представления вещественных чисел.

Постановка задачи

1. Изучить принципы хранения и обработки числовых данных вещественных типов (типов с плавающей точкой) в Java. Провести исследования в окне кода BlueJ.
2. Разработать и отладить программу, демонстрирующую выполнение операций над данными вещественного типа.
3. Исследовать внутреннее представление данных вещественных типов в формате IEEE-754 для значений, являющихся результатами выполнения программы.

Краткие теоретические сведения

Вещественные числа и сопутствующие им машинные форматы

В данной работе исследуются типы float и double (вещественные данные одинарной и двойной точности), которые применяются для выполнения инженерных и научных расчетов. Характеристики этих типов приведены на рисунке 1.

Рисунок 1 - Вещественные типы данных и их характеристики

Как мы знаем, числа представляются в ЭВМ в двоичной системе счисления. На рисунке 2 изображен стандартный формат представления чисел с плавающей точкой IEEE-754, который используется в Java.

Рисунок 2 - Формат IEEE-754

• \(S\)– бит знака числа: если \(S=0\), число положительное, если \(S=1\), число отрицательное;
• \(E\) – смещенный порядок (экспонента) двоичного числа;
• \(2^{(b-1)}-1\) ─ заданное смещение экспоненты (позволяет задавать только положительную экспоненту, т.е. не выделять дополнительный бит для ее знака);
• \(P = E - (2^{(b-1)}-1)\) ─ несмещенное (настоящее) значение порядка;
• \(M\) - остаток мантиссы двоичного нормализованного числа с плавающей точкой.

Двоичное число с плавающей точкой создатели формата IEEE-754 считают нормализованным, если \(1<=Мантисса<=2\). Такая мантисса всегда начинается с 1. Нет смысла хранить эту единицу в отведенных n битах. Поэтому в n битах хранят только дробную часть ─ остаток от мантиссы \(M\) (экономят один бит точности).

Формула вычисления десятичных чисел с плавающей точкой, из чисел, представленных в стандарте IEEE-754:

\[ F = (-1)^S*2^{E - (2^{(b-1)}-1)}*(1+M/2^{n}) \]

Обратите внимание на прибавление 1, с которой начинается мантисса любого нормализованного числа (по версии IEEE-754), и которую, поэтому, нет смысла хранить, расходуя на нее один лишний бит.

Деление остатка от мантиссы \(M\) на \(2^n\) обозначает отрицательные степени двойки, соответствующие весам разрядов \(М\), например, \(2^-1=1/2\).

Интерпретации формата IEEE-754 для типа с одинарной точностью (float) и типа с двойной точностью (double) приведены на рисунке 3.

Заметим, что точность представления чисел определяется числом разрядов мантиссы. Число разрядов порядка определяет диапазон чисел (рисунок 1).

Рисунок 3 - Интерпретации IEEE-754 для чисел с одинарной и двойной точностью

Пример представления вещественного числа в формате float приведен на рисунке 4.

Рисунок 4 - Пример представления вещественного числа в формате float

Операции над вещественными данными.

С вещественными данными можно выполнять обычные арифметические операции (+, -, *, /), результат которых – тоже вещественное число. Сравнение действительных данных выполняется операциями <, >, <=, >=, ==, != (меньше, больше, меньше или равно (не больше), больше или равно (не меньше), равно, не равно).

Следует проявлять внимательность при сравнении действительных данных и действительных литералов (описаны ниже), поскольку действительные данные представляются с погрешностью.

Каждому простому типу в языке Java соответствует объектный тип – так называемый класс-оболочка (wrapper class). Классы-оболочки являются ссылочными типами. Классы-оболочки (для float и double это Float и Double) содержат полезные и интересные методы для проверок свойств данных или для их преобразования в другие типы. Например, метод:

static long doubleToLongBits(double value)

Этот метод, определенный в классе Double, возвращает представление заданного значения value типа double в соответствии с форматом IEEE-754;

static int floatToIntBits(float value)

Этот метод, пределенный в классе Float возвращает представление заданного значения value типа float в соответствии с форматом IEEE-754.

Подробная информация о классах-оболочках имеется в документации по Java.

Константы – литералы действительных типов.

Как мы уже знаем, литералы – это данные, значение которых целиком определяется самой записью этих данных, т.е. является частью текста программы.

Литералы с плавающей точкой могут быть выражены в стандартной (с фиксированным числом знаков после десятичной точки) или научной (экспоненциальной) форме.

Стандартная форма состоит из целого компонента, за которым следует десятичная точка, а далее – дробная компонента, например, 2.0, 3.14159, 0.25.

Научная форма представления использует стандартные обозначения: число с плавающей точкой (мантисса) плюс суффикс, определяющий степень 10, на которую должно быть умножено число. Экспонента (возведение в степень) обозначается буквой E или e (английского алфавита). За ней следует положительное или отрицательное число – порядок степени. Например, ─6.022E23, 314159E ─05, 2e+100.

Научная форма вещественного числа проиллюстрирована на рисунке 5.

Рисунок 5 - Научная форма представления вещественного числа

В программе можем встретить, например, следующие строки:

double a = ─299.555E─2;
float  b = 0.5f ;

По умолчанию литералы с плавающей точкой в Java имеют double-точность. Чтобы определить float-литерал, следует добавить в конец его записи символ F или f. Можно также явно определить double-литерал, добавляя D или d в конец его записи, но такое определение будет избыточным. Примеры: для типа float: 3.1415F или 3.1415f (F или f обозначает тип float); для типа double: 3.1415 (в фиксированном формате) или 0.314Е+1 (в научном формате), 234.525d (явно указан тип).

Выражения.

Выражения позволяют комбинировать константы, переменные и операции для выполнения сложных вычислений.

Соединение в одном выражении нескольких операций требует учета их старшинства. Порядок выполнения операций в выражении:

1. выражение в круглых скобках,
2. умножение и деление,
3. сложение и вычитание.

Обычно выражения – это правые части формул для вычисления значений переменных. Если операцию требуется выполнить с данными разного размера или типа, то более простой тип автоматически преобразуется в более сложный (целочисленные преобразуются в действительные, меньшие по размеру преобразуются в большие по размеру). Например, float-данные автоматически преобразуется в double, если складываются с double-данными. А преобразование (из double во float) должно указываться программистом явно, т.к. связано с уменьшением размера, т.е. с потерей значащих цифр. Указание дается в форме (float)(выражение). Например, следующий фрагмент кода требует явного преобразования типа:

double b=2.5;
float c=5.25f;
float а= (float) (b+c);

Особенности выполнения операций с действительными данными.

Операции с действительными данными выполняются с погрешностью. Природа этой погрешности связана с ограниченным количеством значащих цифр мантиссы и с необходимостью при выполнении сложения и вычитания размещать разряды с одинаковым весом друг под другом. Рассмотрим появление погрешности на действиях с десятичными числами. Предположим, что величина мантиссы \(М\) не превышает \(1\), а количество разрядов равно \(6\).

Пусть \(a=0.523456*10^2\), \(b=0.746879*10^2\).

Тогда \(a+b = 1.270335*10^2 + 0.127033*10^3\) (сохранены только 6 разрядов). Возникает погрешность, равная \(0.0000005*10^2\).

При сложении \(a_1 = 0.523456*10^4\) и \(b=0.746879*10^2\) получим \(0.53092479 * 10^4\), или, оставляя 6 значащих цифр, \(0.530924 * 10^4\). Погрешность при выполнении операции составила \(0.00000079*10^4\).

При умножении шестиразрядного числа на шестиразрядное получается двенадцатиразрядное число, в котором следует сохранить только старшие 6 разрядов.

Пусть снова \(a=0.523456*10^2\), \(b=0.746879*10^2\). Вычислив \(a*b = 0.390958293824*10^4\) и оставив 6 разрядов, получим \(0.390958 * 10^4\), т.е. погрешность \(0.000000293824*10^4\).

С ростом количества арифметических операций погрешность накапливается и может достичь такой величины, что результат потеряет смысл. Поэтому при решении вычислительных задач главное – не формула для вычислений, а умение вычислить значение с минимальным количеством операций, контролируя погрешность.

Библиотечные математические функции в Java

Класс Math содержит функции с плавающей точкой, которые применяются в алгебре, геометрии и тригонометрии (рисунки 6-8), а также несколько универсальных методов. В Math определены две константы типа double: E (приблизительно \(2,72\)) и PI (приблизительно \(3,14\)). Класс Math находится в пакете java.lang, который импортируется автоматически во все программы.

Рисунок 6 - Методы трансцендентных функций

Рисунок 7 - Методы экспоненциальных функций

Рисунок 8 - Методы округляющих функций

В дополнение к методам, представленным выше, в Math определены следующие методы:

• Метод IEEEremainder() возвращает остаток от деления dividend/divisor.
• Метод random() предназначен для получения псевдослучайного числа из промежутка от 0 до 1.
• Метод toRadians() конвертирует градусы в радианы.
• Метод toDegrees() переводит радианы в градусы.

Порядок выполнения работы

Работа в окне кода в BlueJ

Внимание

Каждое из перечисленных ниже заданий демонстрирует особенности работы с действительными числами в Java. Листинг (скриншот окна кода) для каждого задания должен быть приведен в отчете по лабораторной работе. Результаты выполнения каждого задания исполнительной системой Java (после их тщательного осмысления!) и соответствующие выводы также должны быть приведены в отчете.

1. Набрать в окне кода:

   double а1 = 2.523, b1 = 25.23, c1 = 0.2523;
   

   Получить значения переменных a1, b1, c1. Сделать вывод.
2. Набрать в окне кода

   double а2=-523.428e3;
   

   Получить значение a2.
3. Набрать в окне кода

   double а3 = 523.428e-3;
   

   Получить значение a3. Сделать вывод по пунктам 2 и 3.
4. Вывести значения переменных a1, b1, c1 в окно терминала в математическом формате при помощи оператора:

   System.out.printf ("a1=%e;  b1=%e;  c1= %e \n", a1, b1, c1); .
   

5. Вывести значения переменных a2 и a3 в окно терминала в математическом формате и фиксированном формате при помощи оператора:

   System.out.printf ("a2 = %e  = %14.6f;  а3 = %e = %14.6f \n", a2, a2, a3, a3); 
   

   Сделать вывод по пунктам 4 и 5.
6. Ввести в окне кода:

   final double M=0.25;
   M=М+5;
   

   Какое сообщение будет выдано и почему? Сделать вывод.
7. Набрать в окне кода:

   double а4 = 0.25;  
   double а5 = 0.25;  
   

   Получить значения переменных a4 и a5, а затем − значение выражения a4==а5. Какого оно типа?
8. Набрать в окне кода:

   double a6 = 5,1;
   double a7 = a6 + 0.1;
   

   Получить значение выражения a7==5.2. Получить значение переменной a7. Прокомментировать результат. Сделать вывод по пунктам 7 и 8.
9. Набрать в окне кода:

   double a8 = 25.25;  
   float a9 = 25.25f;  
   

   Получить значения переменных a8 и a9, а затем − значение выражения a8==a9.
10. Ввести операторы:

    a8 = a8 + 0.1;
    a9 = (float) (a9 + 0.1f);
    

    Получить значения переменных a8 и a9, а затем − значение выражения a8==a9. Зачем в последнем операторе потребовалось явное преобразование типа? Сделайте выводы по пунктам 9 и 10.

11. Вычислить каждое из трех приведенных ниже выражений дважды: один раз с типом double переменной х, второй раз с типом float переменной x (чтобы не возникла ошибка двойного определения переменной х, во втором случае можно использовать имя x1 вместо x). Для оценки погрешности вычисления сравнить результаты. В качестве значения x взять свой день рождения, деленный на месяц рождения плюс 0.1. Возведение в степень вычислять при помощи операции умножения. Сделать вывод.

    1. \(х^2/2! + x^3/3!+x^4/4!\)
    2. \((x-1)/(x+2.5) + ((x-3)/(x-3.5))^2\)
    3. \((x+2.5*x^2-3.7*x^3)/(1.34+2.7x^3+5.21*x^5)\)

12. Набрать фрагмент кода:

    float a = 4.0f;
    float b = 3.5+a;
    

    Какое сообщение выдает система и почему? Исправьте ошибку и получите значение b. Сделайте вывод.

13. Набрать фрагмент кода:

    int g=4, h=8;
    double z=0.5+g/h;
    double q=0.5+4/8;
    double s=0.5+4.0/8.0;
    

    Получите значения z, q и s. Объясните результаты. Сделайте вывод.
14. Наберите в окне кода операторы:

    System.out.println (Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(0.9375f)));
    System.out.println (Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(-0.9375f)));
    System.out.println (Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(0.9375)));
    System.out.println (Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(-0.9375)));
    

    Объясните результат. Сравните с представлением чисел 0.9375 и -0.9375 в формате IEEE-754 для типов float и double, полученным вручную. Представление числа 0.9375 в формате IEEE-754 для типа float приведено на рисунке 5. Сделайте выводы.

Разработка программы для выполнения операций с вещественными числами

1. Разработайте алгоритм вычислений и программу согласно варианту задания
2. Обоснуйте выбор типа для вещественных переменных.
3. Проведите отладку программы и испытание на заданных тестовых примерах.

Варианты заданий

В качестве индивидуального задания на лабораторную работу предлагается разработать программу, реализующую вычисление по формулам, указанным в таблице вариантов ниже в соответствии с номером варианта. При составлении вариантов заданий использованы методические указания.

Вариант задания V необходимо вычислить по формуле

V = N % 14 != 0 ?  N % 14 : 14,

где N – номер студента в списке группы.

Для решения поставленной задачи выполните следующие этапы:

1. Преобразуйте формулы с целью уменьшения количества операций при вычислениях. Упрощение возможно как за счет математических преобразований, так и за счет введения дополнительных переменных для сохранения значений выражений, неоднократно встречающихся в формуле.
2. Для двух заданных вариантов исходных данных вычислите с помощью калькулятора значения, определяемые формулами (переведите калькулятор в режим работы с радианами при вычислении тригонометрических функций). При этом окажется, что одна пара исходных значений не входит в область допустимых значений, т.е. приведет к возникновению ошибки;
3. Составьте алгоритм (схему) программы.
4. В соответствии с алгоритмом составьте программу на языке Java.
5. Запустите программу на выполнение при обоих вариантах значений входных переменных. Проанализируйте полученные результаты (сравните с результатами расчетов на калькуляторе) и сообщения исполнительной среды Java

Рисунок 9 - Варианты заданий

Пример выполнения индивидуального задания

Постановка задачи: Вычислить значение а по формуле:

\[ a = \frac{\sqrt[3]{|y|}}{(x+1)+(x-1))} + \frac{|sin(x)|}{\sqrt[x]{|y|}} \]

для \(x = 1,241\), \(y = –0,879\).

Проанализируем формулу с целью выявления возможности упростить вычисления. Знаменатель первой дроби можно упростить следующим образом:

\[ (x+1)+(x-1)=2x \]

Чтобы дважды не вычислять \(|y|\), введем дополнительную переменную:

\[ b=|y| \]

Тогда с учетом соотношений выше, формулу для вычисления значения переменной a можно переписать следующим образом:

\[ a = \frac{\sqrt[3]{b}}{2x} + \frac{|sin(x)|}{\sqrt[x]{b}} \]

Алгоритм вычислений будет иметь вид, показанный на рисунке 10. Предварительный расчет значения а с помощью калькулятора при заданных значениях х и у дает \(b = 0,879\), \(sin(x) = 0,9461\) и:

\[ a = \frac{0,9579}{2,482}+\frac{0,9461}{0,9013}=0,3859+1,0497=1,4357 \]

Рисунок 10 - Схема алгоритма вычислений

Текст программы на языке Java:

public class Lab4 {
  public static void main (String args []) {
      double x, y, b, a;
      x = 1.241;
      y = -0.879;
      b = Math.abs(y);
      a = Math.pow(b, 1.0/3.0)/(2*x)+Math.abs(Math.sin(x)) / Math.pow(b, 1.0 / x);
      System.out.printf("x=%8.4f;  y=%8.4f;  a=%8.4f \n", x, y, a);
      System.out.println("Значение переменной а в формате IEEE 754: ");
      System.out.println(Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(a)));
  } 
}

Результаты выполнения программы приведены на рисунке 11.

Рисунок 11 - Результаты вычислений

Значение переменной a, полученное в результате выполнения программы, совпало со значением, рассчитанным при помощи калькулятора.

Внимание

Если в программе вы получили значение, не совпадающее с вашими расчетами (а вы точно уверены, что посчитали на калькуляторе правильно), в процессе отладки программы рекомендуется выводить в окно терминала все промежуточные результаты вычислений для обнаружения логической ошибки в программе. Например, при отладке приведенной выше программы была обнаружена следующая логическая ошибка: выражение для вычисления значения a первоначально выглядело так:

Math.pow(b,1.0/3.0)/(2*x)+Math.abs(Math.sin(x))/Math.pow(b, x)

вместо

Math.pow(b,1.0/3.0)/(2*x)+Math.abs(Math.sin(x))/Math.pow(b,1.0/x), 

что и давало неправильный результат.

Контрольные вопросы

1. Какие типы Java определяют вещественные числа?
2. Какой формат используется для внутреннего представления вещественных данных? Из каких полей состоит этот формат.
3. Какое вещественное число считается нормализованным в математике, а какое в формате IEEE-754?
4. От чего зависит точность представления вещественных чисел в ЭВМ? От чего зависит диапазон представления вещественных чисел в ЭВМ?
5. Какой из форматов обеспечивает большую точность и диапазон и почему?
6. Как в программе задать литерал типа float?
7. Как задать литерал типа double?
8. Как выглядит действительное число, заданное в естественной форме (с фиксированным числом знаков после запятой) и в научной форме?
9. Как определить вещественную переменную в программе? Чем нужно руководствоваться при выборе ее типа?
10. Как определить вещественную константу в программе?
11. Когда в Java-программе может возникнуть ошибка, связанная с потерей точности? Приведите пример. Для чего используется явное преобразование типа в выражениях?
12. Объясните, почему возникает и накапливается погрешность при выполнении машинных расчетов с действительными данными. Как это влияет, в частности, на результат операции сравнения на равенство (==) действительных переменных.
13. Какой тип с плавающей точкой обеспечивает меньшую погрешность и за счет чего?
14. Какие библиотечные методы вы применили для получения текстового эквивалента представления вещественного числа в форматах IEEE-754 с одинарной и двойной точностью. Какие оговорки нужно сделать по-поводу полученного представления положительного числа? В каких классах-оболочках находятся использованные методы?
15. В каком библиотечном классе определены методы для вычисления математических функций? Нужно ли импортировать в программу этот класс? Какие функции вы использовали в своей программе?
16. Перечислите возможности текстового процессора Microsoft Word, которые вы использовали при выполнении отчета по лабораторной работе.